32x^2+250x-1925=0 lösen

$$32 { x }^{ 2 } +250x-1925=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{5 \sqrt{3089} - 125}{32} \approx 4,77793327$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}\approx -12,59043327$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 32, b durch 250 und c durch -1925, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

250 zum Quadrat.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 32.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-128\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie -128 mit -1925.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+246400}}{2\times 32}$$

Addieren Sie 62500 zu 246400.

$$x=\frac{-250±\sqrt{308900}}{2\times 32}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 308900.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{2\times 32}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 32.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -250 zu 10\sqrt{3089}.

$$x=\frac{10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Dividieren Sie -250+10\sqrt{3089} durch 64.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10\sqrt{3089} von -250.

$$x=\frac{-10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Dividieren Sie -250-10\sqrt{3089} durch 64.

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Addieren Sie 1925 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$32x^{2}+250x-1925-\left(-1925\right)=-\left(-1925\right)$$

Die Subtraktion von -1925 von sich selbst ergibt 0.

$$32x^{2}+250x=-\left(-1925\right)$$

Subtrahieren Sie -1925 von 0.

$$32x^{2}+250x=1925$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 32.

$$\frac{32x^{2}+250x}{32}=\frac{1925}{32}$$

Division durch 32 macht die Multiplikation mit 32 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{250}{32}x=\frac{1925}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{250}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x=\frac{1925}{32}$$

Dividieren Sie \frac{125}{16}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{125}{32} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{125}{32} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{1925}{32}+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{125}{32}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{1925}{32}+\frac{15625}{1024}$$

Addieren Sie \frac{1925}{32} zu \frac{15625}{1024}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{77225}{1024}$$

Faktor x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{77225}{1024}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77225}{1024}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{125}{32}=\frac{5\sqrt{3089}}{32} x+\frac{125}{32}=-\frac{5\sqrt{3089}}{32}$$

\frac{125}{32} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$