30x^2+5x-10 lösen

$$30 x ^ { 2 } + 5 x - 10$$

Faktorisieren

$$5\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(6x^{2}+x-2\right)$$

Betrachten Sie 6x^{2}+x-2. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 6x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=6\left(-2\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-3 b=4$$

6x^{2}+x-2 als \left(6x^{2}-3x\right)+\left(4x-2\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(4x-2\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(2x-1\right)+2\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$30x^{2}+5x-10=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 30\left(-10\right)}}{2\times 30}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 30\left(-10\right)}}{2\times 30}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 30.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-120\left(-10\right)}}{2\times 30}$$

Multiplizieren Sie -120 mit -10.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1200}}{2\times 30}$$

Addieren Sie 25 zu 1200.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1225}}{2\times 30}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1225.

$$x=\frac{-5±35}{2\times 30}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 30.

$$x=\frac{-5±35}{60}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±35}{60}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 35.

$$x=\frac{30}{60}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{60} um den niedrigsten Term, indem Sie 30 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±35}{60}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 35 von -5.

$$x=-\frac{40}{60}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{60} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{2} und für x_{2} -\frac{2}{3} ein.

$$30x^{2}+5x-10=30\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$30x^{2}+5x-10=30\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$30x^{2}+5x-10=30\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$30x^{2}+5x-10=30\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{3x+2}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-1}{2} mit \frac{3x+2}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$30x^{2}+5x-10=30\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$30x^{2}+5x-10=30\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)}{6}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 6 in 30 und 6 aufheben.

$$30x^{2}+5x-10=5\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Auswerten

$$5\left(6x^{2}+x-2\right)$$