30x+21x^2=3384 lösen

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 3384 von beiden Seiten.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 7x^{2}+ax+bx-1128 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -7896 ergeben.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-84 b=94$$

7x^{2}+10x-1128 als \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right) umschreiben.

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Klammern Sie 7x in der ersten und 94 in der zweiten Gruppe aus.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$21x^{2}+30x=3384$$

3384 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Die Subtraktion von 3384 von sich selbst ergibt 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 21, b durch 30 und c durch -3384, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie -84 mit -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Addieren Sie 900 zu 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±534}{42}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -30 zu 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Dividieren Sie 504 durch 42.

$$x=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±534}{42}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 534 von -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-564}{42} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Division durch 21 macht die Multiplikation mit 21 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{21} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{3384}{21} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Dividieren Sie \frac{10}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Addieren Sie \frac{1128}{7} zu \frac{25}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

\frac{5}{7} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$