30t=225(t+10)^2 lösen

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Nach t auflösen

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(t+10\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 225 mit t^{2}+20t+100 zu multiplizieren.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Subtrahieren Sie 225t^{2} von beiden Seiten.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Subtrahieren Sie 4500t von beiden Seiten.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Kombinieren Sie 30t und -4500t, um -4470t zu erhalten.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Subtrahieren Sie 22500 von beiden Seiten.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -225, b durch -4470 und c durch -22500, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

-4470 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplizieren Sie 900 mit -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Addieren Sie 19980900 zu -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Das Gegenteil von -4470 ist 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4470 zu 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Dividieren Sie 4470+30i\sqrt{299} durch -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 30i\sqrt{299} von 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Dividieren Sie 4470-30i\sqrt{299} durch -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(t+10\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 225 mit t^{2}+20t+100 zu multiplizieren.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Subtrahieren Sie 225t^{2} von beiden Seiten.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Subtrahieren Sie 4500t von beiden Seiten.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Kombinieren Sie 30t und -4500t, um -4470t zu erhalten.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Division durch -225 macht die Multiplikation mit -225 rückgängig.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4470}{-225} um den niedrigsten Term, indem Sie 15 extrahieren und aufheben.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Dividieren Sie 22500 durch -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Dividieren Sie \frac{298}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{149}{15} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{149}{15} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{149}{15}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Addieren Sie -100 zu \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Faktor t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Vereinfachen.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

\frac{149}{15} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$