30b^2-28b-16=0 lösen

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Nach b auflösen

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 15b^{2}+ab+bb-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -120 ergeben.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-20 b=6$$

15b^{2}-14b-8 als \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right) umschreiben.

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Klammern Sie 5b in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3b-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3b-4=0 und 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 30, b durch -28 und c durch -16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

-28 zum Quadrat.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multiplizieren Sie -120 mit -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Addieren Sie 784 zu 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

Das Gegenteil von -28 ist 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{28±52}{60}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 28 zu 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{80}{60} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.

$$b=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{28±52}{60}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 52 von 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{60} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Addieren Sie 16 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Die Subtraktion von -16 von sich selbst ergibt 0.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Subtrahieren Sie -16 von 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Division durch 30 macht die Multiplikation mit 30 rückgängig.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-28}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Dividieren Sie -\frac{14}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{15} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{15} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{15}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Addieren Sie \frac{8}{15} zu \frac{49}{225}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Faktor b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Vereinfachen.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Addieren Sie \frac{7}{15} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$