3z^2+14z-5 lösen

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Faktorisieren

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3z^{2}+az+bz-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$-1,15 -3,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=-1 b=15$$

3z^{2}+14z-5 als \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right) umschreiben.

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Klammern Sie z in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3z-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

14 zum Quadrat.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 196 zu 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-14±16}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$z=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-14±16}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Dividieren Sie -30 durch 6.

$$z=-5$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{3} und für x_{2} -5 ein.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{3} von z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Auswerten

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$