3y^2-y-4=0 lösen

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3y^{2}+ay+by-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-4 b=3$$

3y^{2}-y-4 als \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right) umschreiben.

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

Klammern Sie y in 3y^{2}-4y aus.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3y-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3y-4=0 und y+1=0.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -1 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -4.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1 zu 48.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{1±7}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 7.

$$y=\frac{8}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{1±7}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie -6 durch 6.

$$y=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Die Subtraktion von -4 von sich selbst ergibt 0.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

Subtrahieren Sie -4 von 0.

$$3y^{2}-y=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu \frac{1}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Faktor y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$