3y^2-24y+45 lösen

$$3 y ^ { 2 } - 24 y + 45$$

Faktorisieren

$$3\left(y-5\right)\left(y-3\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(y^{2}-8y+15\right)$$

Betrachten Sie y^{2}-8y+15. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als y^{2}+ay+by+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 15 ergeben.

$$-1,-15 -3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-5 b=-3$$

y^{2}-8y+15 als \left(y^{2}-5y\right)+\left(-3y+15\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-5y\right)+\left(-3y+15\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y-5\right)-3\left(y-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-5\right)\left(y-3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(y-5\right)\left(y-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3y^{2}-24y+45=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-24 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 45.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 576 zu -540.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 36.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -24 ist 24.

$$y=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$y=\frac{24±6}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{24±6}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 24 zu 6.

$$y=\frac{30}{6}$$

Dividieren Sie 30 durch 6.

$$y=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{24±6}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6 von 24.

$$y=\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie 18 durch 6.

$$y=3$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} 3 ein.

$$3y^{2}-24y+45=3\left(y-5\right)\left(y-3\right)$$

Auswerten

$$3\left(y-5\right)\left(y-3\right)$$