3y^2-16y+5 lösen

$$3 y ^ { 2 } - 16 y + 5$$

Faktorisieren

$$\left(y-5\right)\left(3y-1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3y^{2}+ay+by+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-16 ab=3\times 5=15$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 15 ergeben.

$$-1,-15 -3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -16 ergibt.

$$a=-15 b=-1$$

3y^{2}-16y+5 als \left(3y^{2}-15y\right)+\left(-y+5\right) umschreiben.

$$\left(3y^{2}-15y\right)+\left(-y+5\right)$$

Klammern Sie 3y in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$3y\left(y-5\right)-\left(y-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-5\right)\left(3y-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3y^{2}-16y+5=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

-16 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 5.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-60}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 256 zu -60.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±14}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -16 ist 16.

$$y=\frac{16±14}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$y=\frac{16±14}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{16±14}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 16 zu 14.

$$y=\frac{30}{6}$$

Dividieren Sie 30 durch 6.

$$y=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{16±14}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von 16.

$$y=\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{1}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} \frac{1}{3} ein.

$$3y^{2}-16y+5=3\left(y-5\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{3} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3y^{2}-16y+5=3\left(y-5\right)\times \frac{3y-1}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3y^{2}-16y+5=\left(y-5\right)\left(3y-1\right)$$

Auswerten

$$\left(y-5\right)\left(3y-1\right)$$