3y^2+y-7=0 lösen

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Nach y auflösen

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1,369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1,70325741$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 1 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

1 zum Quadrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1 zu 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{85} von -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Dividieren Sie \frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu \frac{1}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Faktor y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

\frac{1}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$