3y^2+y-24 lösen

$$3 y ^ { 2 } + y - 24$$

Faktorisieren

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3y^{2}+ay+by-24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-8 b=9$$

3y^{2}+y-24 als \left(3y^{2}-8y\right)+\left(9y-24\right) umschreiben.

$$\left(3y^{2}-8y\right)+\left(9y-24\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(3y-8\right)+3\left(3y-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3y-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3y^{2}+y-24=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

1 zum Quadrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -24.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1 zu 288.

$$y=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$y=\frac{-1±17}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$y=\frac{-1±17}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±17}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 17.

$$y=\frac{16}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{8}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±17}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -1.

$$y=-\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie -18 durch 6.

$$y=-3$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{8}{3} und für x_{2} -3 ein.

$$3y^{2}+y-24=3\left(y-\frac{8}{3}\right)\left(y-\left(-3\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3y^{2}+y-24=3\left(y-\frac{8}{3}\right)\left(y+3\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{8}{3} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3y^{2}+y-24=3\times \frac{3y-8}{3}\left(y+3\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3y^{2}+y-24=\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$

Auswerten

$$\left(3y-8\right)\left(y+3\right)$$