3y^2+5y-2 lösen

$$3 y ^ { 2 } + 5 y - 2$$

Faktorisieren

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3y^{2}+ay+by-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -6 ergeben.

$$-1,6 -2,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-1 b=6$$

3y^{2}+5y-2 als \left(3y^{2}-y\right)+\left(6y-2\right) umschreiben.

$$\left(3y^{2}-y\right)+\left(6y-2\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(3y-1\right)+2\left(3y-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3y-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3y^{2}+5y-2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

5 zum Quadrat.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu 24.

$$y=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$y=\frac{-5±7}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$y=\frac{-5±7}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-5±7}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 7.

$$y=\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-5±7}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -5.

$$y=-\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie -12 durch 6.

$$y=-2$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{3} und für x_{2} -2 ein.

$$3y^{2}+5y-2=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y-\left(-2\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3y^{2}+5y-2=3\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(y+2\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{3} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3y^{2}+5y-2=3\times \frac{3y-1}{3}\left(y+2\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3y^{2}+5y-2=\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$

Auswerten

$$\left(3y-1\right)\left(y+2\right)$$