3x-15=2x(x-5) lösen

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Nach x auflösen

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-5 zu multiplizieren.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombinieren Sie 3x und 10x, um 13x zu erhalten.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=10 b=3$$

-2x^{2}+13x-15 als \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right) umschreiben.

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+5=0 und 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-5 zu multiplizieren.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombinieren Sie 3x und 10x, um 13x zu erhalten.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 13 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 169 zu -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±7}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±7}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Dividieren Sie -20 durch -4.

$$x=5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-5 zu multiplizieren.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Auf beiden Seiten 10x addieren.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombinieren Sie 3x und 10x, um 13x zu erhalten.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 15 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$13x-2x^{2}=15$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Dividieren Sie 13 durch -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Dividieren Sie 15 durch -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{13}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Addieren Sie -\frac{15}{2} zu \frac{169}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Addieren Sie \frac{13}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$