3x^2-8x-1=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -8 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 64 zu 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Dividieren Sie 8+2\sqrt{19} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{19} von 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Dividieren Sie 8-2\sqrt{19} durch 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$