3x^2-7x-5=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 7 x - 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{6} \approx 2,906717751$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{6}\approx -0,573384418$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-7x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -7 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 49 zu 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±\sqrt{109}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±\sqrt{109}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{109} von 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{109}}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-7x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-7x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$3x^{2}-7x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{5}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{5}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu \frac{49}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{109}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{109}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{109}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{109}}{6}$$

Addieren Sie \frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{109}}{6}$$