3x^2-7x-26=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 7 x - 26 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-26 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=3\left(-26\right)=-78$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -78 ergeben.

$$1,-78 2,-39 3,-26 6,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-78=-77 2-39=-37 3-26=-23 6-13=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-13 b=6$$

3x^{2}-7x-26 als \left(3x^{2}-13x\right)+\left(6x-26\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-13x\right)+\left(6x-26\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-13\right)+2\left(3x-13\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-13 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-13\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-13=0 und x+2=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-7x-26=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -7 und c durch -26, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -26.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+312}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 49 zu 312.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±19}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±19}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{7±19}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±19}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 19.

$$x=\frac{26}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{26}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{13}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±19}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von 7.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie -12 durch 6.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{13}{3} x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-7x-26=0$$

Addieren Sie 26 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-7x-26-\left(-26\right)=-\left(-26\right)$$

Die Subtraktion von -26 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-7x=-\left(-26\right)$$

Subtrahieren Sie -26 von 0.

$$3x^{2}-7x=26$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{26}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{26}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{26}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{26}{3}+\frac{49}{36}$$

Addieren Sie \frac{26}{3} zu \frac{49}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{361}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{361}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{19}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{19}{6}$$

Addieren Sie \frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{13}{3} x=-2$$