3x^2-7x=6 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 7 x = 6$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=3\left(-6\right)=-18$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18 ergeben.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-9 b=2$$

3x^{2}-7x-6 als \left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und 3x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-7x=6$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-7x-6=6-6$$

Die Subtraktion von 6 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -7 und c durch -6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 49 zu 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{7±11}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±11}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 11.

$$x=\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie 18 durch 6.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±11}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von 7.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-7x=6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{6}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{6}{3}$$

Dividieren Sie 6 durch 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=2$$

Dividieren Sie -\frac{7}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=2+\frac{49}{36}$$

Addieren Sie 2 zu \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{121}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{11}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{11}{6}$$

Addieren Sie \frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$