3x^2-4x+1 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 4 x + 1$$

Faktorisieren

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-3 b=-1$$

3x^{2}-4x+1 als \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 16 zu -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{4±2}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 4.

$$x=\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} \frac{1}{3} ein.

$$3x^{2}-4x+1=3\left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3x^{2}-4x+1=3\left(x-1\right)\times \frac{3x-1}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3x^{2}-4x+1=\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Auswerten

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$