3x^2-38x+32=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 38 x + 32 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{265} + 19}{3} \approx 11,759606865$$

$$x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}\approx 0,907059801$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-38x+32=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -38 und c durch 32, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

-38 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-12\times 32}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 32.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-384}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1444 zu -384.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1060}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1060.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2\sqrt{265}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -38 ist 38.

$$x=\frac{38±2\sqrt{265}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 38 zu 2\sqrt{265}.

$$x=\frac{2\sqrt{265}+38}{6}$$

Dividieren Sie 38+2\sqrt{265} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{265} von 38.

$$x=\frac{38-2\sqrt{265}}{6}$$

Dividieren Sie 38-2\sqrt{265} durch 6.

$$x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3} x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-38x+32=0$$

32 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-38x+32-32=-32$$

Die Subtraktion von 32 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-38x=-32$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-38x}{3}=-\frac{32}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{32}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{38}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{19}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{19}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{19}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{32}{3}+\frac{361}{9}$$

Addieren Sie -\frac{32}{3} zu \frac{361}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{265}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{265}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{265}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{\sqrt{265}}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{\sqrt{265}}{3}$$

Addieren Sie \frac{19}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3} x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$