Nach x auflösen
x=6
x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667
Diagramm
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a+b=-32 ab=3\times 84=252
Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+84 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.
-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18
Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 252 ergeben.
-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32
Die Summe für jedes Paar berechnen.
a=-18 b=-14
Die Lösung ist das Paar, das die Summe -32 ergibt.
\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)
3x^{2}-32x+84 als \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right) umschreiben.
3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)
Klammern Sie 3x in der ersten und -14 in der zweiten Gruppe aus.
\left(x-6\right)\left(3x-14\right)
Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.
x=6 x=\frac{14}{3}
Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und 3x-14=0.
3x^{2}-32x+84=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -32 und c durch 84, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}
-32 zum Quadrat.
x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}
Multiplizieren Sie -4 mit 3.
x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}
Multiplizieren Sie -12 mit 84.
x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}
Addieren Sie 1024 zu -1008.
x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.
x=\frac{32±4}{2\times 3}
Das Gegenteil von -32 ist 32.
x=\frac{32±4}{6}
Multiplizieren Sie 2 mit 3.
x=\frac{36}{6}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±4}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 32 zu 4.
x=6
Dividieren Sie 36 durch 6.
x=\frac{28}{6}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±4}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 32.
x=\frac{14}{3}
Verringern Sie den Bruch \frac{28}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.
x=6 x=\frac{14}{3}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
3x^{2}-32x+84=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
3x^{2}-32x+84-84=-84
84 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
3x^{2}-32x=-84
Die Subtraktion von 84 von sich selbst ergibt 0.
\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}
Dividieren Sie beide Seiten durch 3.
x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}
Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.
x^{2}-\frac{32}{3}x=-28
Dividieren Sie -84 durch 3.
x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{32}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{16}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{16}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{16}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}
Addieren Sie -28 zu \frac{256}{9}.
\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}
Faktor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}
Vereinfachen.
x=6 x=\frac{14}{3}
Addieren Sie \frac{16}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}