3x^2-32x+84=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+84 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 252 ergeben.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -32 ergibt.

$$a=-18 b=-14$$

3x^{2}-32x+84 als \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -14 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -32 und c durch 84, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1024 zu -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -32 ist 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±4}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 32 zu 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividieren Sie 36 durch 6.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±4}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{28}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{14}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

84 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Die Subtraktion von 84 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Dividieren Sie -84 durch 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Dividieren Sie -\frac{32}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{16}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{16}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{16}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Addieren Sie -28 zu \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Addieren Sie \frac{16}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$