3x^2-30x+48 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 30 x + 48$$

Faktorisieren

$$3\left(x-8\right)\left(x-2\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(x^{2}-10x+16\right)$$

Betrachten Sie x^{2}-10x+16. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx+16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=1\times 16=16$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 16 ergeben.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-8 b=-2$$

x^{2}-10x+16 als \left(x^{2}-8x\right)+\left(-2x+16\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-2x+16\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-8\right)-2\left(x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-8\right)\left(x-2\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(x-8\right)\left(x-2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3x^{2}-30x+48=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 3\times 48}}{2\times 3}$$

-30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 3\times 48}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-12\times 48}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 48.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-576}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 900 zu -576.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±18}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -30 ist 30.

$$x=\frac{30±18}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{30±18}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±18}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 30 zu 18.

$$x=\frac{48}{6}$$

Dividieren Sie 48 durch 6.

$$x=8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±18}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von 30.

$$x=\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie 12 durch 6.

$$x=2$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 8 und für x_{2} 2 ein.

$$3x^{2}-30x+48=3\left(x-8\right)\left(x-2\right)$$

Auswerten

$$3\left(x-8\right)\left(x-2\right)$$