3x^2-20x-7 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 20 x - 7$$

Faktorisieren

$$\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-20 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -21 ergeben.

$$1,-21 3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -20 ergibt.

$$a=-21 b=1$$

3x^{2}-20x-7 als \left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right)$$

Klammern Sie 3x in 3x^{2}-21x aus.

$$3x\left(x-7\right)+x-7$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3x^{2}-20x-7=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

-20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -7.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+84}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 400 zu 84.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 484.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±22}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -20 ist 20.

$$x=\frac{20±22}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{20±22}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±22}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 20 zu 22.

$$x=\frac{42}{6}$$

Dividieren Sie 42 durch 6.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±22}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 22 von 20.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 7 und für x_{2} -\frac{1}{3} ein.

$$3x^{2}-20x-7=3\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3x^{2}-20x-7=3\left(x-7\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3x^{2}-20x-7=3\left(x-7\right)\times \frac{3x+1}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3x^{2}-20x-7=\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$