3x^2-20x+1=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -20 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

-20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 400 zu -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -20 ist 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 20 zu 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Dividieren Sie 20+2\sqrt{97} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{97} von 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Dividieren Sie 20-2\sqrt{97} durch 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{20}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{10}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{10}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{10}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu \frac{100}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Addieren Sie \frac{10}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$