3x^2-2x-8 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 8$$

Faktorisieren

$$\left(x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=-6 b=4$$

3x^{2}-2x-8 als \left(3x^{2}-6x\right)+\left(4x-8\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(4x-8\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3x^{2}-2x-8=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+96}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu 96.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±10}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±10}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{2±10}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±10}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 10.

$$x=\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie 12 durch 6.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±10}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von 2.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} -\frac{4}{3} ein.

$$3x^{2}-2x-8=3\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3x^{2}-2x-8=3\left(x-2\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3x^{2}-2x-8=3\left(x-2\right)\times \frac{3x+4}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3x^{2}-2x-8=\left(x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Auswerten

$$\left(x-2\right)\left(3x+4\right)$$