3x^2-2x-16=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=-8 b=6$$

3x^{2}-2x-16 als \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-8=0 und x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -2 und c durch -16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±14}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{8}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±14}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie -12 durch 6.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Addieren Sie 16 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Die Subtraktion von -16 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Subtrahieren Sie -16 von 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie \frac{16}{3} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$