3x^2-2x+1=100 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 100$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{298} + 1}{3} \approx 6,087558834$$

$$x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}\approx -5,420892167$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-2x+1=100$$

100 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-2x+1-100=100-100$$

Die Subtraktion von 100 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-2x+1-100=0$$

Subtrahieren Sie 100 von 1.

$$3x^{2}-2x-99=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -2 und c durch -99, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-99\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -99.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1188}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu 1188.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1192}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{298}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{298}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{298}.

$$x=\frac{2\sqrt{298}+2}{6}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{298} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{298}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{298} von 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{298}}{6}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{298} durch 6.

$$x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-2x+1=100$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-2x+1-1=100-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-2x=100-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 100.

$$3x^{2}-2x=99$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{99}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{99}{3}$$

Dividieren Sie 99 durch 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=33$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=33+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=33+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie 33 zu \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{298}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{298}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{298}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{298}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{298}}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{298}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{298}}{3}$$