3x^2-15=4x lösen

$$3 x ^ { 2 } - 15 = 4 x$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 4x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-15-4x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$3x^{2}-4x-15=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -45 ergeben.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-9 b=5$$

3x^{2}-4x-15 als \left(3x^{2}-9x\right)+\left(5x-15\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(5x-15\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 4x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-15-4x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-4x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -4 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 16 zu 180.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{4±14}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±14}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 14.

$$x=\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie 18 durch 6.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±14}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von 4.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 4x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-15-4x=0$$

Auf beiden Seiten 15 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$3x^{2}-4x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{15}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{15}{3}$$

Dividieren Sie 15 durch 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$