3x^2-13x+12 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 13 x + 12$$

Faktorisieren

$$\left(x-3\right)\left(3x-4\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=3\times 12=36$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 36 ergeben.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-9 b=-4$$

3x^{2}-13x+12 als \left(3x^{2}-9x\right)+\left(-4x+12\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(-4x+12\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-3\right)-4\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(3x-4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3x^{2}-13x+12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

-13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-12\times 12}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-144}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 169 zu -144.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±5}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -13 ist 13.

$$x=\frac{13±5}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{13±5}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±5}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 13 zu 5.

$$x=\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie 18 durch 6.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±5}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 13.

$$x=\frac{8}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 3 und für x_{2} \frac{4}{3} ein.

$$3x^{2}-13x+12=3\left(x-3\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3x^{2}-13x+12=3\left(x-3\right)\times \frac{3x-4}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3x^{2}-13x+12=\left(x-3\right)\left(3x-4\right)$$

Auswerten

$$\left(x-3\right)\left(3x-4\right)$$