3x^2-11x-4<0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -11 und c durch -4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{11±13}{6}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-4 und x+\frac{1}{3} gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-4 positiv und x+\frac{1}{3} negativ ist.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x+\frac{1}{3} positiv und x-4 negativ ist.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$