3x^2-10x-6=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 10 x - 6 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{43} + 5}{3} \approx 3,852479508$$

$$x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}\approx -0,519146175$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-10x-6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -10 und c durch -6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -6.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+72}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 100 zu 72.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{172}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 172.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{43}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{43}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 2\sqrt{43}.

$$x=\frac{2\sqrt{43}+10}{6}$$

Dividieren Sie 10+2\sqrt{43} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{43} von 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{43}}{6}$$

Dividieren Sie 10-2\sqrt{43} durch 6.

$$x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3} x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-10x-6=0$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}-10x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Die Subtraktion von -6 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-6\right)$$

Subtrahieren Sie -6 von 0.

$$3x^{2}-10x=6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{6}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{6}{3}$$

Dividieren Sie 6 durch 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=2$$

Dividieren Sie -\frac{10}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=2+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=2+\frac{25}{9}$$

Addieren Sie 2 zu \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{43}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{43}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{43}}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{43}}{3}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3} x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$