3x^2-10x=48 lösen

$$3 x ^ { 2 } - 10 x = 48$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 48 von beiden Seiten.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-48 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=3\left(-48\right)=-144$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -144 ergeben.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-18 b=8$$

3x^{2}-10x-48 als \left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(3x+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und 3x+8=0.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-10x=48$$

48 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}-10x-48=48-48$$

Die Subtraktion von 48 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -10 und c durch -48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -48.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+576}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 100 zu 576.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±26}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±26}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{10±26}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±26}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 26.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividieren Sie 36 durch 6.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±26}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von 10.

$$x=-\frac{16}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-10x=48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{48}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{48}{3}$$

Dividieren Sie 48 durch 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=16$$

Dividieren Sie -\frac{10}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=16+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=16+\frac{25}{9}$$

Addieren Sie 16 zu \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{13}{3}$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$