3x^2=19x+14 lösen

$$3 x ^ { 2 } = 19 x + 14$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 19x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-19x=14$$

Subtrahieren Sie 14 von beiden Seiten.

$$3x^{2}-19x-14=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-19 ab=3\left(-14\right)=-42$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -42 ergeben.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -19 ergibt.

$$a=-21 b=2$$

3x^{2}-19x-14 als \left(3x^{2}-21x\right)+\left(2x-14\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(2x-14\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und 3x+2=0.

$$x=7 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 19x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-19x=14$$

Subtrahieren Sie 14 von beiden Seiten.

$$3x^{2}-19x-14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -19 und c durch -14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

-19 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -14.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+168}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 361 zu 168.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{529}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±23}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -19 ist 19.

$$x=\frac{19±23}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{19±23}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{19±23}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 19 zu 23.

$$x=\frac{42}{6}$$

Dividieren Sie 42 durch 6.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{19±23}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von 19.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 19x von beiden Seiten.

$$3x^{2}-19x=14$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-19x}{3}=\frac{14}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=\frac{14}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{19}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{19}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{19}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{19}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{14}{3}+\frac{361}{36}$$

Addieren Sie \frac{14}{3} zu \frac{361}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{529}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{529}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{19}{6}=\frac{23}{6} x-\frac{19}{6}=-\frac{23}{6}$$

Addieren Sie \frac{19}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=-\frac{2}{3}$$