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3x^{2}+x-5=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 1 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}
1 zum Quadrat.
x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}
Multiplizieren Sie -4 mit 3.
x=\frac{-1±\sqrt{1+60}}{2\times 3}
Multiplizieren Sie -12 mit -5.
x=\frac{-1±\sqrt{61}}{2\times 3}
Addieren Sie 1 zu 60.
x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6}
Multiplizieren Sie 2 mit 3.
x=\frac{\sqrt{61}-1}{6}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu \sqrt{61}.
x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{61} von -1.
x=\frac{\sqrt{61}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
3x^{2}+x-5=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
3x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)
Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.
3x^{2}+x=-\left(-5\right)
Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.
3x^{2}+x=5
Subtrahieren Sie -5 von 0.
\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{5}{3}
Dividieren Sie beide Seiten durch 3.
x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{5}{3}
Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.
x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}
Dividieren Sie \frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}
Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}
Addieren Sie \frac{5}{3} zu \frac{1}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}
Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{61}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}
\frac{1}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.