3x^2+x=11 lösen

$$3 x ^ { 2 } + x = 11$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{133} - 1}{6} \approx 1,755427099$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}\approx -2,088760432$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+x=11$$

11 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+x-11=11-11$$

Die Subtraktion von 11 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+x-11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 1 und c durch -11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+132}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1 zu 132.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu \sqrt{133}.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{133} von -1.

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+x=11$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{11}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{11}{3}$$

Dividieren Sie \frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{11}{3}+\frac{1}{36}$$

Addieren Sie \frac{11}{3} zu \frac{1}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{133}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

\frac{1}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$