3x^2+9x+8=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 8 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}\approx -1,5+0,645497224i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}\approx -1,5-0,645497224i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+9x+8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 9 und c durch 8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 8}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-96}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 81 zu -96.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-15}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -15.

$$x=\frac{-9±\sqrt{15}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{15}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{15}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{15}i}{6}$$

Dividieren Sie -9+i\sqrt{15} durch 6.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{15}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{15} von -9.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-9}{6}$$

Dividieren Sie -9-i\sqrt{15} durch 6.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+9x+8=0$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+9x+8-8=-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+9x=-8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{8}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Dividieren Sie 9 durch 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{8}{3}$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{8}{3}+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie -\frac{8}{3} zu \frac{9}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{12}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{12}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{6}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}$$