3x^2+9x+6=90 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Nach x auflösen

$$x=-7$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 90 von beiden Seiten.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Subtrahieren Sie 90 von 6, um -84 zu erhalten.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -28 ergeben.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28 als \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

90 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Die Subtraktion von 90 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Subtrahieren Sie 90 von 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 9 und c durch -84, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 81 zu 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1089.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±33}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Dividieren Sie 24 durch 6.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±33}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 33 von -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Dividieren Sie -42 durch 6.

$$x=-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Die Subtraktion von 6 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Subtrahieren Sie 6 von 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Dividieren Sie 9 durch 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Dividieren Sie 84 durch 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 28 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=4 x=-7$$