3x^2+8x+4=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 8 x + 4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=3\times 4=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$1,12 2,6 3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=2 b=6$$

3x^{2}+8x+4 als \left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x+2\right)+2\left(3x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+2\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+2=0 und x+2=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 8 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 64 zu -48.

$$x=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-8±4}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-8±4}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±4}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 4.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±4}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von -8.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie -12 durch 6.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+8x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+8x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Dividieren Sie \frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie -\frac{4}{3} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$$

\frac{4}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$