3x^2+7x+3=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 7 x + 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{13}-7}{6}\approx -0,565741454$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}\approx -1,767591879$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+7x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 7 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-12\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 49 zu -36.

$$x=\frac{-7±\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{13}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{13}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-7}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{13}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{13} von -7.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{13}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+7x+3=0$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+7x+3-3=-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+7x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+7x}{3}=-\frac{3}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-\frac{3}{3}$$

Dividieren Sie -3 durch 3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-1$$

Dividieren Sie \frac{7}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-1+\frac{49}{36}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{49}{36}.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

\frac{7}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{13}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}$$