3x^2+5x-12 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 5 x - 12$$

Faktorisieren

$$\left(3x-4\right)\left(x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-4 b=9$$

3x^{2}+5x-12 als \left(3x^{2}-4x\right)+\left(9x-12\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(9x-12\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-4\right)+3\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3x^{2}+5x-12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-5±13}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±13}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 13.

$$x=\frac{8}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±13}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -5.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie -18 durch 6.

$$x=-3$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{3} und für x_{2} -3 ein.

$$3x^{2}+5x-12=3\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3x^{2}+5x-12=3\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+3\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3x^{2}+5x-12=3\times \frac{3x-4}{3}\left(x+3\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3x^{2}+5x-12=\left(3x-4\right)\left(x+3\right)$$

Auswerten

$$\left(3x-4\right)\left(x+3\right)$$