3x^2+4x-7=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 7 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -21 ergeben.

$$-1,21 -3,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-3 b=7$$

3x^{2}+4x-7 als \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 4 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 16 zu 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±10}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±10}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$3x^{2}+4x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Dividieren Sie \frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$