3x^2+36x+81=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 36 x + 81 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+27 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 27 ergeben.

$$1,27 3,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+27=28 3+9=12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 12 ergibt.

$$a=3 b=9$$

x^{2}+12x+27 als \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x+3=0 und x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 36 und c durch 81, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

36 zum Quadrat.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-12\times 81}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 81.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-972}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1296 zu -972.

$$x=\frac{-36±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-36±18}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-36±18}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-36±18}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -36 zu 18.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Dividieren Sie -18 durch 6.

$$x=-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-36±18}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von -36.

$$x=-\frac{54}{6}$$

Dividieren Sie -54 durch 6.

$$x=-9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-3 x=-9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

81 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+36x+81-81=-81$$

Die Subtraktion von 81 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+36x=-81$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+36x}{3}=-\frac{81}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{36}{3}x=-\frac{81}{3}$$

Dividieren Sie 36 durch 3.

$$x^{2}+12x=-\frac{81}{3}$$

Dividieren Sie -81 durch 3.

$$x^{2}+12x=-27$$

Dividieren Sie 12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

6 zum Quadrat.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Addieren Sie -27 zu 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Faktor x^{2}+12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vereinfachen.

$$x+6=3 x+6=-3$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-3 x=-9$$