3x^2+3x+3=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 3 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+3x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 3 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 9 zu -36.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-27}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -27.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{6}$$

Dividieren Sie -3+3i\sqrt{3} durch 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3i\sqrt{3} von -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{6}$$

Dividieren Sie -3-3i\sqrt{3} durch 6.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+3x+3=0$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+3x+3-3=-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+3x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{3}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{3}{3}$$

Dividieren Sie 3 durch 3.

$$x^{2}+x=-\frac{3}{3}$$

Dividieren Sie -3 durch 3.

$$x^{2}+x=-1$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$