3x^2+2x+1=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 2 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Dividieren Sie -2+2i\sqrt{2} durch 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{2} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Dividieren Sie -2-2i\sqrt{2} durch 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie \frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$