3x^2+16x-35=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-35 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -105 ergeben.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=-5 b=21$$

3x^{2}+16x-35 als \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-5=0 und x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 16 und c durch -35, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 256 zu 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±26}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±26}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Dividieren Sie -42 durch 6.

$$x=-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Addieren Sie 35 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Die Subtraktion von -35 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Subtrahieren Sie -35 von 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Dividieren Sie \frac{16}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{8}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{8}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{8}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Addieren Sie \frac{35}{3} zu \frac{64}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

\frac{8}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$