3x^2+16x-12=0 lösen

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=-2 b=18$$

3x^{2}+16x-12 als \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-2=0 und x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 16 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 256 zu 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±20}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±20}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Dividieren Sie -36 durch 6.

$$x=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Die Subtraktion von -12 von sich selbst ergibt 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Subtrahieren Sie -12 von 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Dividieren Sie 12 durch 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Dividieren Sie \frac{16}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{8}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{8}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{8}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Addieren Sie 4 zu \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

\frac{8}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$