3x+5=x^2+1 lösen

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von 5, um 4 zu erhalten.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$-1,4 -2,2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=4 b=-1$$

-x^{2}+3x+4 als \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von 5, um 4 zu erhalten.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 3 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±5}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Dividieren Sie 2 durch -2.

$$x=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±5}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Dividieren Sie -8 durch -2.

$$x=4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1 x=4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Subtrahieren Sie 5 von 1, um -4 zu erhalten.

$$3x-x^{2}=-4$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Dividieren Sie 3 durch -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Dividieren Sie -4 durch -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 4 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=-1$$