3v^2+5v-8=0 lösen

$$3 v ^ { 2 } + 5 v - 8 = 0$$

Nach v auflösen

$$v = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$v=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3v^{2}+av+bv-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-3 b=8$$

3v^{2}+5v-8 als \left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right) umschreiben.

$$\left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right)$$

Klammern Sie 3v in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$3v\left(v-1\right)+8\left(v-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term v-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(v-1\right)\left(3v+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie v-1=0 und 3v+8=0.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 5 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

5 zum Quadrat.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -8.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 25 zu 96.

$$v=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$v=\frac{-5±11}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$v=\frac{-5±11}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{-5±11}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 11.

$$v=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$v=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{-5±11}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -5.

$$v=-\frac{16}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$v=-\frac{8}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Addieren Sie 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3v^{2}+5v-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Die Subtraktion von -8 von sich selbst ergibt 0.

$$3v^{2}+5v=-\left(-8\right)$$

Subtrahieren Sie -8 von 0.

$$3v^{2}+5v=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3v^{2}+5v}{3}=\frac{8}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v=\frac{8}{3}$$

Dividieren Sie \frac{5}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{8}{3}+\frac{25}{36}$$

Addieren Sie \frac{8}{3} zu \frac{25}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{121}{36}$$

Faktor v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Vereinfachen.

$$v+\frac{5}{6}=\frac{11}{6} v+\frac{5}{6}=-\frac{11}{6}$$

\frac{5}{6} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$