3t^2-2t-100=0 lösen

$$3 t ^ { 2 } - 2 t - 100 = 0$$

Nach t auflösen

$$t = \frac{\sqrt{301} + 1}{3} \approx 6,116450524$$

$$t=\frac{1-\sqrt{301}}{3}\approx -5,449783858$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3t^{2}-2t-100=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -2 und c durch -100, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-100\right)}}{2\times 3}$$

-2 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-100\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-100\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -100.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1200}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu 1200.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1204}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1204.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{301}}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$t=\frac{2±2\sqrt{301}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$t=\frac{2±2\sqrt{301}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{2±2\sqrt{301}}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{301}.

$$t=\frac{2\sqrt{301}+2}{6}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{301} durch 6.

$$t=\frac{\sqrt{301}+1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{2±2\sqrt{301}}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{301} von 2.

$$t=\frac{2-2\sqrt{301}}{6}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{301} durch 6.

$$t=\frac{1-\sqrt{301}}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{\sqrt{301}+1}{3} t=\frac{1-\sqrt{301}}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3t^{2}-2t-100=0$$

Addieren Sie 100 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$3t^{2}-2t-100-\left(-100\right)=-\left(-100\right)$$

Die Subtraktion von -100 von sich selbst ergibt 0.

$$3t^{2}-2t=-\left(-100\right)$$

Subtrahieren Sie -100 von 0.

$$3t^{2}-2t=100$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3t^{2}-2t}{3}=\frac{100}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t=\frac{100}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{100}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{100}{3}+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie \frac{100}{3} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{301}{9}$$

Faktor t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{301}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{301}{9}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{301}}{3} t-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{301}}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=\frac{\sqrt{301}+1}{3} t=\frac{1-\sqrt{301}}{3}$$