3t^2-2t-1 lösen

$$3 t ^ { 2 } - 2 t - 1$$

Faktorisieren

$$\left(t-1\right)\left(3t+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3t^{2}+at+bt-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-3 b=1$$

3t^{2}-2t-1 als \left(3t^{2}-3t\right)+\left(t-1\right) umschreiben.

$$\left(3t^{2}-3t\right)+\left(t-1\right)$$

Klammern Sie 3t in 3t^{2}-3t aus.

$$3t\left(t-1\right)+t-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term t-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(t-1\right)\left(3t+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3t^{2}-2t-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-2 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -1.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 4 zu 12.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$t=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$t=\frac{2±4}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{2±4}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 4.

$$t=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$t=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{2±4}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 2.

$$t=-\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{1}{3} ein.

$$3t^{2}-2t-1=3\left(t-1\right)\left(t-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3t^{2}-2t-1=3\left(t-1\right)\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu t, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3t^{2}-2t-1=3\left(t-1\right)\times \frac{3t+1}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3t^{2}-2t-1=\left(t-1\right)\left(3t+1\right)$$

Auswerten

$$\left(t-1\right)\left(3t+1\right)$$