3t^2+20t-32 lösen

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

Faktorisieren

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3t^{2}+at+bt-32 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -96 ergeben.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 20 ergibt.

$$a=-4 b=24$$

3t^{2}+20t-32 als \left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right) umschreiben.

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

Klammern Sie t in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3t-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

20 zum Quadrat.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit -32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 400 zu 384.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-20±28}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 28.

$$t=\frac{8}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$t=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-20±28}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von -20.

$$t=-\frac{48}{6}$$

Dividieren Sie -48 durch 6.

$$t=-8$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{3} und für x_{2} -8 ein.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von t, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 3 und 3 aufheben.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Auswerten

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$